畫一條曲線，畫很多條曲線，讓曲線連接、旋轉(zhuǎn)、平移，就能建出曲面，進(jìn)而搭建出模型。今天的一切工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計，需都要曲面建模完成產(chǎn)品的參數(shù)定義。

但在一切發(fā)生之前，我們需要先得到一條曲線。

你在 PS 里隨手畫的線條本質(zhì)上不是曲線。把它們放大，這條線會越來越模糊，最后變成一個個不同顏色的色塊。

但只要色塊足夠小，在人眼中的邊緣就是平滑的。這種顯示模式被稱為點陣圖像，也叫位圖。

計算機(jī)不像人類一樣擁有徒手畫線的能力，要畫真正的曲線，就需要通過數(shù)學(xué)函數(shù)計算每個點的位置，再把點連成曲線。

貝塞爾曲線就是這樣一種非常直觀的曲線函數(shù)。

這里有 A、B、C 三個點，我們在 AB 線段上任選一個點 D，根據(jù) AD 和 AB 的比值，在 BC 線段上找到一個點 E，讓 AD:AB=BE:BC 。再連接 DE ，在 DE 線段上找出點 F，讓 DF:DE = AD:AB = BE:BC。

這個 F 點，就是我們要得到的貝塞爾曲線上的一個點。讓 D 點從 A 移動到 B，把得到的所有 F 點連起來，就是 ABC 三個點所定義曲線，稱作二次貝塞爾曲線。

控制點越多，次數(shù)就越多。設(shè)計軟件常用的畫筆工具就是分段三次貝塞爾曲線，通過兩個錨點和兩個控制點，定義一條曲線。

這種用數(shù)學(xué)表達(dá)式定義的圖形被稱為矢量圖。無論放大多少倍，都不會丟失信息，出現(xiàn)位圖模式下的鋸齒。

貝塞爾曲線的問題是，當(dāng)控制點數(shù)量過多時，每個點對于曲線的控制就會變?nèi)?。且調(diào)整任意一個點都會影響整條曲線，不能只修改局部。

如果把像鋼筆工具一樣把貝塞爾曲線分段，曲線與曲線的拼接就不夠光滑。無法達(dá)到工業(yè)設(shè)建模要求的 C2 連續(xù)。

于是，在貝塞爾曲線的基礎(chǔ)上，發(fā)展出了 NURBS 曲線。Non-Uniform Rational B-Splines，中文叫非均勻有理 B 樣條。

B 樣條可以被看做一系列基函數(shù)的線性組合，而這些基函數(shù)又是由低次的基函數(shù)線性組合而來，每兩個節(jié)點矢量之間有不同的差值，且可以調(diào)節(jié)權(quán)重。

我知道你沒有聽懂，在寫下上面這段話的時候，我們其實也沒搞懂。所以，我們完整的學(xué)習(xí)了清華大學(xué)的計算機(jī)圖形學(xué)教材?，F(xiàn)在，我們終于理解了什么是非均勻有理 B 樣條。

接下來的內(nèi)容將非常有趣，讓我們開始吧。

首先我們要知道，貝塞爾和 NURBS 等曲線并不按照傳統(tǒng)的 y=f(x) 的函數(shù)關(guān)系表達(dá)。而是通過定義一個新參數(shù)t，把曲線表示為一個多項式。在三維空間，就可以表示為P(t)=[x(t),y(t),z(t)]。

比如一條直線段就可參數(shù)化表示為：

P 代表點的位置，包含 X，Y，Z 軸的坐標(biāo)信息，P1 是這條直線的起點，P2 是這條直線的終點。

那么，t 等于 0 時，P(t) 的位置就在 P1上，t 等于 1 時，P(t) 的位置就在 P2上，把 t 在 0 到 1 區(qū)間的每一個值對應(yīng)的 P(t) 坐標(biāo)連起來，就是 P1 和 P2 相連的直線。

參數(shù)函數(shù)可以清晰的表達(dá)各種曲線，比如四分之一圓弧就可表示為這樣 ：

理解了參數(shù)函數(shù)，我們就可以進(jìn)一步理解貝塞爾曲線的函數(shù)。這是求和符號，這是基函數(shù)，不用擔(dān)心，我們接下來會進(jìn)一步介紹。

為了生成曲線，我們需要先確定 n+1 個控制點，記作 Pi，讓每個控制點與一個基函數(shù)相乘，再把結(jié)果相加，就可以獲得參數(shù) t 對應(yīng)的 P(t) 坐標(biāo)，連起來就是一條逼近控制點的曲線。

以有 P0，P1，P2，P3 四個控制點的三次貝塞爾曲線為例，每一個點都有一條對應(yīng)的基函數(shù)曲線。

可以看到，t 為 0 時，P1，P2，P3 的基函數(shù)結(jié)果都是 0，此時P(t) 的位置就在 P0 上，t 為 1 時，P0，P1，P2 的函數(shù)結(jié)果都是0，此時P(t) 的位置就在 P3上。

而 t 在 0 和 1 之間時，P(t) 的位置就是這四條函數(shù)與控制點相乘再相加的結(jié)果。這也意味這每個控制點的位置發(fā)生變化，都會影響最終生成的整條曲線。

而 B 樣條則通過分段函數(shù)多次遞歸的方式解決了貝塞爾曲線的問題?？梢钥吹?，B 樣條和貝塞爾的函數(shù)邏輯并無區(qū)別，但基函數(shù)和定義域 t 發(fā)生了變化。

這是 B 樣條的基函數(shù)，i 是控制點的編號，k 是這條曲線的次數(shù)。

讓我們以有 4 個控制點的 3 次 B 樣條為例。

為了曲線可以被局部控制，首先需要設(shè)置 t0至 t7 共 8個 (4+3+1) 節(jié)點，每個節(jié)點都有固定的數(shù)值，我們就取 0、1、2、3、4、5、6、7 為 8 個節(jié)點的數(shù)值。

從基函數(shù)公式中我們可以看到，要計算 3 次 B 樣條基函數(shù)，先要計算 2 次基函數(shù)，要計算 2次，要先計算 1 次，要計算 1 次，就要先計算 0 次。

根據(jù)公式，控制點 P0 的 0 次基函數(shù) N0,0 只在 t0 和 t1 之間是 1， 其他區(qū)間都是 0。

以此類推，我們可以畫出剩余 3 個控制點的基函數(shù) N1,0 到 N3,0 。而 t4 至 t7 節(jié)點還會生成三條基函數(shù)，用于之后的計算。

在 0 次基函數(shù)的基礎(chǔ)上，我們可以計算 1 次基函數(shù)。

基函數(shù) N0,0 和 N1,0 會組合生成一個新節(jié)點，對應(yīng)的基函數(shù)是 N0,1。以此類推，N1,0 和 N2,0 會組合成 N1,1 ；N3,0 和 N4,0 會組合成 N3,1。

此時的 B 樣條是就這四條基函數(shù)和 Pi 乘積的和，即4個控制點連接的直線。

之后，可以再計算得出 2 次基函數(shù)，N0,2 到 N3,2 。再計算出 3次基函數(shù)。N0,3，N1,3，N2,3，N3,3 。最后帶入公式中，就可以算出 P(t)，得出整條曲線。

在這張圖中，我們可以更清晰的看到 B 樣條基函數(shù)的遞歸邏輯。

不難發(fā)現(xiàn)，每個 3 次基函數(shù)都只在4個節(jié)點區(qū)間內(nèi)有數(shù)值，這也意味著，這個控制點終于實現(xiàn)了貝塞爾曲線做不到的局部控制。

在剛剛的例子中，節(jié)點之間的數(shù)值是相等的，所以也被稱為均勻 B 樣條。實際應(yīng)用中，更常見的是節(jié)點間距不相等的非均勻 B 樣條，讓控制點獲得更靈活的控制范圍。

而「有理」，意味著可以對B 樣條的每個控制點設(shè)定不同的權(quán)重，進(jìn)一步控制曲線。

這就是非均勻有理 B 樣條。

你可以在這個網(wǎng)站中，更直觀的理解 NURBS 曲線。

每個控制點有4個參數(shù)，XYZ 軸的坐標(biāo)和權(quán)重，權(quán)重越高，曲線就越靠近該點，讓控制點獲得對曲線更高的影響力。

而次數(shù)則意味則分段函數(shù)的計算次數(shù)。

次數(shù)為 1 時，就是各個控制點連接的直線。次數(shù)為 2 時，每段直線的會計算成為多段曲線，次數(shù)為 3 時，分段曲線會進(jìn)一步計算，生成更短更平滑的曲線。次數(shù)可以不斷升高，但在實際應(yīng)用中，3 次已經(jīng)夠用了。

可以看到，10個同樣位置的控制點，3 次的 NURBS 曲線就要比 9 次的貝塞爾曲線平滑可控的多。

有了 B 樣條之后，讓曲線連接、旋轉(zhuǎn)、平移，就能構(gòu)建出曲面了。

接下來，我們的三維模型師杰蘇爾將完成一次建模。

首先用 B 樣條勾勒出我們想要的模型輪廓，再添加幾個額外的點讓直線部分更垂直。之后，添加圓形樣條，再用掃描將模型的基礎(chǔ)形態(tài)制作出來，調(diào)整封頂形狀，就基本完成了模型的身體。

再添加眼球、瞳孔，增加細(xì)分曲面，調(diào)整大小和位置，然后再復(fù)制另一個眼球，一個回形針模型就完成了。